집합의 크기와 카디널리티(Cardinality)의 개념
Source
Evernote/Article Scraps/오늘의유머 - 수학의 부스러기 1. 집합의 크기.md
Summary
이 문서는 집합의 크기를 비교하는 방법, 특히 무한집합의 경우를 다룹니다. 유한집합은 원소의 개수로 비교하지만, 무한집합(예: 자연수 vs 홀수)은 직관적 비교가 불가능합니다. 칸토어(G. Cantor)는 두 집합 A와 B의 크기를 비교하기 위해 ‘일대일 함수(injection)‘의 존재 여부를 기준으로 삼았습니다. 집합 A에서 집합 B로의 일대일 함수가 존재하면, B의 크기가 A보다 크거나 같다고 정의합니다. 이를 통해 자연수 집합과 홀수 집합의 크기가 같음을 수학적으로 정의할 수 있습니다.
Key Points
- 집합의 크기 비교는 순서관계(ordering relation)와 관련이 있습니다.
- 유한집합은 원소의 개수로 크기를 비교할 수 있습니다.
- 무한집합의 크기 비교는 직관적 포함관계나 개수 세기로는 불가능합니다.
- 칸토어는 두 집합 A, B에 대해 A에서 B로의 일대일 함수(injection)가 존재할 때, B의 크기가 A보다 크거나 같다고 정의합니다.
- 이 정의를 통해 자연수 집합과 홀수 집합의 크기가 같음을 증명할 수 있습니다.