베이즈 정리 문제 풀이: 쿠키, M&M, 엘비스, 혈액형
Source
Evernote/Technote scraps/Probably Overthinking It All your Bayes are belong to us!.md
Summary
Allen Downey 의 블로그 ‘Probably Overthinking It’ 에서 다루는 베이즈 정리(Bayes’ Theorem) 적용 사례 5 가지 중 앞부분을 요약한 문서입니다. 사전 확률(Prior), 우도(Likelihood), 사후 확률(Posterior) 을 계산하는 과정을 구체적인 예시와 함께 설명합니다.
- 쿠키 문제: 두 개의 그릇 중 하나에서 무작위로 쿠키를 꺼냈을 때, 평범한 쿠키(plain) 가 나왔다면 그릇 #1 에서 나왔을 확률은 3/5 입니다.
- M&M 문제: 1994 년과 1996 년산 M&M 봉지 두 개에서 각각 노란색과 초록색 M&M 이 나왔을 때, 노란색 M&M 이 1994 년산 봉지에서 나왔을 확률은 약 0.74 입니다.
- 엘비스 쌍둥이 문제: 엘비스 프레슬리가 쌍둥이였을 때, 그 쌍둥이가 일란성 쌍둥이일 확률은 약 0.15(15%) 입니다. 이는 이란성 쌍둥이일 경우 성별이 같을 확률이 1/2 이라는 점을 고려한 결과입니다.
- 혈액형 증거 문제: 사건 현장에서 O 형과 AB 형 혈액이 발견되었고, 용의자 올리버가 O 형일 때, 이 증거가 올리버의 범행 혐의를 지지하는지 묻는 문제입니다. 계산 결과 증거는 오히려 올리버를 무죄로 만드는(exculpatory) 방향으로 작용함을 보여줍니다. 즉, 가설과 ‘일치’하는 증거가 반드시 그 가설을 ‘지지’하는 것은 아님을 시사합니다.
Key Points
- 베이즈 정리를 적용할 때 사전 확률이 동일하면 계산에서 소거되므로 생략 가능함.
- 가설(Hypothesis) 과 증거(Evidence) 를 명확히 정의하는 것이 문제 해결의 핵심임.
- 일란성 쌍둥이는 성별이 동일하므로, 쌍둥이의 성별 정보가 사후 확률 계산에 영향을 미침.
- 증거가 가설과 일치하더라도, 다른 가설 하에서 그 증거가 더 높게 발생할 경우 해당 증거는 가설을 지지하지 않음(혈액형 문제).
- 우도 비(Likelihood Ratio) 만으로도 증거의 방향성(유죄/무죄 지지) 을 판단할 수 있음.